previous up next contents index
previous: Höhere Ableitungen up: Differentialrechnung next: Die Elastizität

Das Differential  



Unser Auto ist bereits seit 2 Stunden unterwegs. Wie weit wird es (ungefähr) in der nächsten $\frac{1}{4}$ Stunde fahren?


SUNG:

Wir schätzen diese Wegstrecke durch
Momentangeschwindigkeit $\times$ Zeitdifferenz:


$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \Delta f = f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\approx f'(x_0)\cdot\Delta x$}}$


Diese Approximation ist allerdings nur für ,,kleine`` Werte von $\Delta x$ brauchbar.



Wenn wir die Differenzen $\Delta f$ und $\Delta x$ durch infinitesimale (,,unendlich kleine``) Größen $df$ und $dx$ersetzen, erhalten wir das  Differential der Funktion $f$ an der Stelle $x_0$:


$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle df=f'(x_0)\,dx$}}$


($df$ und $dx$ werden dabei ebenfalls als Differentiale bezeichnet.)



Wir können das Differential von $f$ als lineare Funktion in $dx$auffassen und damit die Funktion $f$ näherungsweise berechnen.

\begin{displaymath}
f(x_0+dx)-f(x_0) \approx df\end{displaymath}

BEISPIEL
Sei $f(x)=e^x$. Wir berechnen $f(1{,}1)$ mit Hilfe des Differentials an der Stelle $x_0=1$.


Differential von $f$ an der Stelle 1:


$dx=(x_0+dx)-x_0=1{,}1-1=0{,}1$

$df=f'(1)\,dx= e^1\,dx=0{,}1\cdot e$

$f(1{,}1)\approx f(1)+df=e+0{,}1\cdot e\approx 2{,}99$


$(f(1,1)=3,00)$


previous up next contents index

© 1997, Josef Leydold
Abteilung für angewandte Statistik und Datenverarbeitung