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Der Gradient  



Wir fassen die partiellen Ableitungen erster Ordnung zu einem Vektor, dem Gradienten an der Stelle $\mathsfbf{x}$, zusammen.

DEFINITION (GRADIENT)
Der Vektor


$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \nabla f(\mathsfbf{x})=
 \left(\begin{array}
{c}
 f_{x_1}(\mathsfbf{x})\\  \vdots\\  f_{x_n}(\mathsfbf{x})\\  \end{array}\right)$}}$


heißt der  Gradient von $f$ an der Stelle $\mathsfbf{x}$.



Der Gradient einer Funktion $f$ im Punkt $\mathsfbf{x}$ zeigt in die Richtung des steilsten Anstieges von $f$.Seine Länge gibt diese Steigung an.



Der Gradient ist die Verallgemeinerung der ersten
(gewöhnlichen) Ableitung von Funktionen in einer Variablen auf Funktionen in mehreren Variablen.



BEISPIEL
Der Gradient von

\begin{displaymath}
f(x_1,x_2)=x_1^2+3\,x_1\,x_2
 \end{displaymath}

an der Stelle $\mathsfbf{x}=\pmatrix{3\cr 2}$ ist:

\begin{displaymath}
\left(
 \begin{array}
{c}
 f_{x_1}\\ f_{x_2}
 \end{array} \r...
 ...begin{array}
{c}
 2\,x_1+3\,x_2\\ 3\,x_1
 \end{array} \right)
 \end{displaymath}

\begin{displaymath}
\nabla f(3,2)=
 \left(
 \begin{array}
{c}
 12\\ 9
 \end{array} \right)
 \end{displaymath}


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© 1997, Josef Leydold
Abteilung für angewandte Statistik und Datenverarbeitung