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Taylorreihen II  



Die Idee der  Taylorreihen kann auch für Funktionen in mehreren Variablen verwirklicht werden.




Ein Polynom in zwei Variablen hat die allgemeine Form

\begin{displaymath}
\begin{array}
{rcl}
 P(x_1,x_2) & = & a_0\\  &&{}+a_{10}\,x_...
 ...}\,x_1^n+a_{n1}\,x_1^{n-1}\,x_2+\cdots+a_{nn}\,x_2^n\end{array}\end{displaymath}




Wenn wir die Funktion $f(x_1,x_2)$ an der Stelle $\mathsfbf{x}=\mathsfbf{o}$ nur durch ein Polynom 1. Ordnung approximieren, dann erhalten wir das totale Differential und es gilt

\begin{displaymath}
a_{10}=f_{x_1}(\mathsfbf{o})
\quad\mbox{und}\quad
a_{11}=f_{x_2}(\mathsfbf{o})\end{displaymath}



Allgemein gilt für die Koeffizienten

\begin{displaymath}
a_{kj}=\frac{1}{k!}\,{k\choose j}\,
\frac{\partial^k f(\math...
 ...1)^{k-j}\,(\partial x_2)^j}\quad k\in{\mathbb N},\,j=1,\ldots,i\end{displaymath}




Die Taylorreihe bis zur zweiten Ordnung an der Stelle $\mathsfbf{o}$lautet

\begin{displaymath}
\begin{array}
{l}
 f(\mathsfbf{x}) = f(\mathsfbf{o}) \\  \qu...
 ...frac{1}{2}\,f_{x_2x_2}(\mathsfbf{o})\,x_2^2 + \cdots\end{array}\end{displaymath}




Wir fassen die zweiten partiellen Ableitungen von $f$an der Stelle $\mathsfbf{o}$ zu einer $2\!\times\!2$-Matrix zusammen. Diese Matrix wird als  Hesse-Matrix von $f$ an der Stelle $\mathsfbf{o}$ bezeichnet.


$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \mathsfbf{H}_f(\mathsfbf{o})=
 \pmatrix{ f_{x_1x_...
 ..._2}(\mathsfbf{o}) \cr
 f_{x_2x_1}(\mathsfbf{o}) & f_{x_2x_2}(\mathsfbf{o}) }$}}$

Die quadratischen Glieder der Taylorreihe bilden eine quadratische Form.  


$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle f(\mathsfbf{x})=f(\mathsfbf{o})+\nabla f(\mathsfb...
 ...2}}\mathsfbf{x}^t\cdot\mathsfbf{H}_f(\mathsfbf{o})\cdot\mathsfbf{x} + \cdots$}}$




Im allgemeinen Fall mit $n$ Variablen lautet die Hesse-Matrix an der Stelle $\mathsfbf{x}_0$:


\begin{displaymath}
\mathsfbf{H}_f(\mathsfbf{x}_0)=
 \pmatrix{ f_{x_1x_1}(\maths...
 ...{x_nx_1}(\mathsfbf{x}_0) & \ldots & f_{x_nx_n}(\mathsfbf{x}_0)}\end{displaymath}


Die Taylorreihe an der Stelle $\mathsfbf{x}_0$:

\begin{displaymath}
f(\mathsfbf{x})=f(\mathsfbf{x}_0)+\nabla f(\mathsfbf{x}_0)^t...
 ...H}_f(\mathsfbf{x}_0)\cdot(\mathsfbf{x}-\mathsfbf{x}_0)
+ \cdots\end{displaymath}



BEISPIEL
Wir suchen das Taylorpolynom 2. Ordnung von

\begin{displaymath}
f(x,y)=e^{x^2-y^2}+x
 \end{displaymath}

an der Stelle $\mathsfbf{x}_0=\mathsfbf{o}$.

\begin{displaymath}
\begin{array}
{lcl}
 f(x,y)=e^{x^2-y^2}+x &
 \Rightarrow &
 ...
 ...^2+y^2} &
 \Rightarrow &
 f_{yy}(\mathsfbf{o})=-2
 \end{array} \end{displaymath}

Das Taylorpolynom lautet daher

\begin{displaymath}
\begin{array}
{ll}
 f(\mathsfbf{x})
 &\approx f(\mathsfbf{o}...
 ... }\cdot\pmatrix{x\cr y}\\ [3ex] 
 &=1+x + x^2-y^2
 \end{array} \end{displaymath}


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© 1997, Josef Leydold
Abteilung für angewandte Statistik und Datenverarbeitung