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Was ist Lineare Optimierung?  

 

Die Toys&Joys Ges.m.b.H. erzeugt Nachziehenten und Spielzeugeisenbahnen aus Holz.

Eine Nachziehente kann um 27 GE verkauft werden. Die Materialkosten pro Ente betragen 10 GE, sonstige variable Kosten 14 GE. Der Verkaufspreis für die Eisenbahn ist 21 GE, die Materialkosten und sonstigen variablen Kosten pro Eisenbahn betragen 9 GE bzw. 10 GE.

Bei der Produktion sind zwei Arbeitsgänge notwendig: Lackieren und Montieren der Einzelteile. Das Lackieren der Teile einer Ente benötigt 2 Stunden, die Montage 1 Stunde. Für die Eisenbahn werden jeweils 1 Stunde benötigt.

Jede Woche können beliebig viele Rohmaterialien verbraucht werden. Für das Lackieren stehen allerdings pro Woche nur 100 Stunden, für die Montage höchstens 80 Stunden zur Verfügung. Außerdem ist die Nachfrage nach Nachziehenten mit 40 Stück pro Woche begrenzt.

Wir suchen ein Produktionsprogramm, daß den wöchentlichen Gewinn der Toys&Joys Ges.m.b.H. optimiert.

Mathematischen Formulierung:

$$\begin{array} {rcl} x_1 &=& \mbox{produzierte Nachziehenten... ...x_2 &=& \mbox{produzierte Holzeisenbahnen pro Woche}\end{array}$$

Der zu optimierende Gewinn der Firma ist

$$\begin{array} {rcl} \textsl{Gewinn} &=& \textsl{Verkaufserl... ...n}\\ && {}\quad - \textsl{sonstige variable Kosten}\end{array}$$

und hängt von der Produktion ab:

$$\begin{array} {rcl} z(x_1,x_2) &=& (27\,x_1+21\,x_2)\\ &&... ...1+9\,x_2) - (14\,x_1+10\,x_2)\\ &=& 3\,x_1 + 2\,x_2\end{array}$$

Müssen aber Nebenbedingungen beachten:

$$2\,x_1 + x_2 \leq 100$$ Lackieren:

$$x_1 + x_2 \leq 80$$ Montage:

$$x_1 \leq 40$$ Verkaufsbeschränkung:

$$x_1, x_2\geq 0$$ keine negativen Güter:

 Zusammenfassung:

$$\begin{array} {rcl} z(x_1,x_2)=3\,x_1+2\,x_2 &\longrightarr... ... &\leq& 80\\ x_1 &\leq& 40\\ x_1,\,x_2 &\geq& 0\\ \end{array}$$

Die zu optimierende Funktion $z(x_1,x_2)$ heißt die  Zielfunktion des linearen Optimierensproblems, die Ungleichungen die  Nebenbedingungen.