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Rang einer Matrix  

DEFINITION (RANG EINER MATRIX)
Der  Rang $\mbox{rank}(\mathsfbf{A})$ einer Matrix $\mathsfbf{A}$ ist die maximale Anzahl an linear unabhängigen Spalten.

Analog ist der Zeilenrang einer Matrix $\mathsfbf{A}$definieren als die maximale Anzahl an linear unabhängigen Zeilen dieser Matrix. (Spalten-)Rang und Zeilenrang einer Matrix sind aber immer gleich.

Berechnung des Ranges:

(1) Wir bringen die Matrix mit den Umformungsschritten des Gaußschen Eliminationsverfahrens in die Staffelform.

(2) Die Anzahl der von Null verschiedenen Zeilen ergibt den Rang der Matrix.

BEISPIEL
Die Matrizen aus obigen zwei Beispielen haben Rang 3 ($\mbox{rank}(\mathsfbf{A})=3$) bzw. Rang 2 ($\mbox{rank}(\mathsfbf{A})=2$).

Es gilt folgende Rechenregel:

$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \mbox{rank}(\mathsfbf{A}^t)=\mbox{rank}(\mathsfbf{A})$}}$

Der Rang einer $n\times k$-Matrix ist immer $\leq\min(n,k)$.

 

DEFINITION (REGULäRE MATRIX)
Eine $n\times n$-Matrix heißt  regulär, falls sie   vollen Rang hat, d.h. falls $\mbox{rank}(\mathsfbf{A})=n$.