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Rechenregeln für Matrizen aus der Sicht linearer Abbildungen


Die inverse Matrix $\mathsfbf{A}^{-1}$ von $\mathsfbf{A}$ existiert genau dann, wenn die korrespondierende Abbildung $\varphi_\mathsfbf{A}(\mathsfbf{x})=\mathsfbf{A}\,\mathsfbf{x}$bijektiv ist, wenn also

\begin{displaymath}
\varphi_\mathsfbf{A}(\mathsfbf{x}) 
= x_1\,\mathsfbf{a}_1 + ...
 ...thsfbf{o}
\quad\Leftrightarrow\quad
\mathsfbf{x} = \mathsfbf{o}\end{displaymath}

d.h. wenn $\mathsfbf{A}$ regulär ist.




Durch das Multiplizieren zweier Matrizen $\mathsfbf{A}$ und $\mathsfbf{B}$ erhalten wir eine zusammengesetzte Abbildung:

\begin{displaymath}
(\varphi_\mathsfbf{A} \circ \varphi_\mathsfbf{B})(\mathsfbf{...
 ...\,\mathsfbf{x})
= (\mathsfbf{A}\cdot\mathsfbf{B})\,\mathsfbf{x}\end{displaymath}


\begin{picture}
(50,15)(0,0)
 
\thinlines 
 
 \put(0,7.5){\makebox(0,0){\Large${...
 ...)[t]{$\mathsfbf{A}\cdot\mathsfbf{B}$}}
 \put(6,5){\vector(1,0){37}}\end{picture}


Aus dieser Sichtweise wird klar, warum

\begin{displaymath}
(\mathsfbf{A}\cdot\mathsfbf{B})^{-1} =
\mathsfbf{B}^{-1}\cdot\mathsfbf{A}^{-1}\end{displaymath}


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© 1997, Josef Leydold
Abteilung für angewandte Statistik und Datenverarbeitung