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Wie berechnet man Eigenwerte?  



Sei $\mathsfbf{A}$ eine $(n\!\times\!n)$-Matrix. Wir müssen die Gleichung

\begin{displaymath}
\mathsfbf{A}\,\mathsfbf{x} = \lambda\mathsfbf{x}=
\lambda\ma...
 ...ad
(\mathsfbf{A}-\lambda\mathsfbf{I})\mathsfbf{x}= \mathsfbf{o}\end{displaymath}

lösen. Falls $(\mathsfbf{A}-\lambda\mathsfbf{I})$ invertierbar ist, dann ist

\begin{displaymath}
\mathsfbf{x}=(\mathsfbf{A}-\lambda\mathsfbf{I})^{-1} \mathsfbf{o} =\mathsfbf{o}\end{displaymath}

Dann ist $\lambda$ aber kein Eigenwert.


$\lambda$ ist genau dann Eigenwert von $\mathsfbf{A}$, wenn $(\mathsfbf{A}-\lambda\mathsfbf{I})$ nicht invertierbar ist, d.h. wenn


$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \det(\mathsfbf{A}-\lambda\mathsfbf{I})=0$}}$


$\det(\mathsfbf{A}-\lambda\mathsfbf{I})$ ist ein Polynom $n$-ten Grades und heißt das   charakteristische Polynom der Matrix $\mathsfbf{A}$.

Die Eigenwerte sind die Nullstellen dieses Polynoms.



BEISPIEL
Wir suchen die Eigenwerte von $\mathsfbf{A}=\pmatrix{ 1 & -2\cr 1 & 4 }$.

Dazu bilden wir das charakteristische Polynom und berechnen deren Nullstellen.

\begin{displaymath}
\det(\mathsfbf{A}-\lambda\mathsfbf{I})=
 \left\vert 
 \begin...
 ...\lambda
 \end{array} \right\vert =
 \lambda^2 -5\lambda+6 = 0
 \end{displaymath}

Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind

\begin{displaymath}
\lambda_1=2\quad\mbox{und}\quad\lambda_2=3.
 \end{displaymath}

$\mathsfbf{A}$ besitzt daher die Eigenwerte 2 und 3.




Es kann sein, daß alle Nullenstellen des charakteristischen Polynoms komplex sind. (komplexe Eigenwerte)


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© 1997, Josef Leydold
Abteilung für angewandte Statistik und Datenverarbeitung