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Diagonalisieren  



Ähnliche Matrizen $\mathsfbf{A}$ und $\mathsfbf{C}$ haben die gleichen Eigenwerte und besitzen (unter Berücksichtigung des Basiswechsels) die gleichen Eigenvektoren:

Ist $\mathsfbf{x}$ ein Eigenvektor von $\mathsfbf{A}$ zum Eigenwert $\lambda$, dann ist $\mathsfbf{U}^{-1}\mathsfbf{x}$ Eigenvektor von $\mathsfbf{C}$ zum gleichen Eigenwert:

Für die Eigenvektoren gilt:

\begin{displaymath}
\begin{array}
{rcl}
 \mathsfbf{C}(\mathsfbf{U}^{-1}\mathsfbf...
 ...mathsfbf{x}
 =\lambda(\mathsfbf{U}^{-1}\mathsfbf{x})\end{array}\end{displaymath}

(Matrizen mit gleichen Eigenwerten müssen aber nicht notwendigerweise ähnlich sein.)


Wir wählen für unsere Abbildung eine Basis, sodaß die entsprechende Matrix $\mathsfbf{A}$ möglichst einfach wird. Die einfachsten Matrizen sind Diagonalmatrizen.

Können wir immer eine Darstellung durch eine Diagonalmatrix finden?


M.a.W.: Ist $\mathsfbf{A}$ ähnlich einer Diagonalmatrix?



Wir beschränken uns hier auf symmetrische Matrizen.  

DEFINITION (SYMMETRISCHE MATRIX)
Eine $(n\!\times\!n)$-Matrix $\mathsfbf{A}$ heißt  symmetrisch, falls


$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \mathsfbf{A}^t=\mathsfbf{A}$}}$



Die Eigenwerte und Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix $\mathsfbf{A}$ haben folgende wichtige Eigenschaften:




Betrachten wir die Transformationsmatrix $\mathsfbf{U}=(\mathsfbf{f}_1,\ldots,\mathsfbf{f}_n)$.Wegen der Orthonormiertheit gilt


$\mathsfbf{U}^t\cdot\mathsfbf{U}=\mathsfbf{I}$ $\qquad\Leftrightarrow\qquad$ $\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \mathsfbf{U}^{-1}=\mathsfbf{U}^t$}}$

Für jeden Einheitsvektor $\mathsfbf{e}_i$ gilt daher

\begin{displaymath}
\mathsfbf{U}^t\,\mathsfbf{A}\,\mathsfbf{U}\mathsfbf{e}_i
=\m...
 ...mbda_i\,\mathsfbf{U}^t\,\mathsfbf{f}_i
=\lambda_i\mathsfbf{e}_i\end{displaymath}

Also

\begin{displaymath}
\mathsfbf{U}^t\,\mathsfbf{A}\,\mathsfbf{U} = \mathsfbf{D}
=\...
 ...\cr \vdots & & \ddots & \vdots \cr 0 & 0 & \ldots & \lambda_n }\end{displaymath}

Jede symmetrische Matrix ist somit ähnlich zu einer Diagonalmatrix.


Jede symmetrische Matrix wird bezüglich einer Orthonormalbasis aus Eigenvektoren zu einer Diagonalmatrix, deren Diagonalelemente die Eigenwerte von $\mathsfbf{A}$ sind. Man nennt diesen Vorgang  Diagonalisieren.


Viele -- aber nicht alle -- nichtsymmetrischen Matrizen lassen sich ebenfalls Diagonalisieren.



BEISPIEL
Wir wollen $\mathsfbf{A}=\pmatrix{1 & 2 \cr 2 & 1}$ diagonalisieren.

Das charakteristische Polynom ist

\begin{displaymath}
\left\vert 
 \begin{array}
{ll} 
 1-\lambda & 2 \\  2 & 1-\lambda 
 \end{array} \right\vert = 
 \lambda^2 -2\lambda -3
 \end{displaymath}

Die Eigenwerte sind daher

\begin{displaymath}
\lambda_1=-1\mbox{ und }\lambda_2=3
 \end{displaymath}

Die normierten Eigenvektoren sind

\begin{displaymath}
\mathsfbf{f}_1=\pmatrix{-\frac{1}{\sqrt{2}}\cr \frac{1}{\sqr...
 ...hsfbf{f}_2=\pmatrix{\frac{1}{\sqrt{2}}\cr \frac{1}{\sqrt{2}}}
 \end{displaymath}

Bezüglich dieser Basis wird $\mathsfbf{A}$ zur Diagonalmatrix

\begin{displaymath}
\pmatrix{ -1 & 0 \cr 0 & 3 }
 \end{displaymath}


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© 1997, Josef Leydold
Abteilung für angewandte Statistik und Datenverarbeitung