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Geometrische Folgen  



  

Der Quotient aufeinanderfolgender Glieder ist konstant:
$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}=q$}}$
Bildungsgesetz:
$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle a_n=a_1\cdot q^{n-1}$}}$
Jedes Glied ist das geometrische Mittel seiner Nachbarglieder:
$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle a_n=\sqrt{a_{n+1}\cdot a_{n-1}}$}}$
Geometrische Reihe (Summenformel):
$\mbox{\ovalbox{$\displaystyle s_n=a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1}\mbox{ für }q\not=1$}}$



Die Summenformel $s_n$ für die geometrische Reihe erhalten wir durch folgenden Trick:


\begin{displaymath}
s_n = a_1\, q^0 + a_1\, q^1 + \cdots + a_1\, q^{n-1}\end{displaymath}

Multiplizieren mit $q$

\begin{displaymath}
q\cdot s_n = a_1\, q^1 + \cdots + a_1\, q^{n-1} + a_1\, q^n\end{displaymath}

Subtrahieren

\begin{displaymath}
s_n-q\cdot s_n = a_1\, q^0 - a_1\, q^n\end{displaymath}

Herausheben

\begin{displaymath}
s_n\,(1-q)=a_1\,(1-q^n)\end{displaymath}

Also

\begin{displaymath}
s_n=a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1}\end{displaymath}



Es ist auch üblich bei der Definition von Folgen und Reihen bei 0 anstatt bei 1 zu zählen zu beginnen.

Die Bildungsgesetze und Summenformeln für

die arithmetische Folge lauten dann

\begin{displaymath}
a_n=a_0+n\cdot d\quad\mbox{bzw.}\quad s_n=\frac{n+1}{2}(a_0+a_n)\end{displaymath}

und für die geomoetrische Folge

\begin{displaymath}
a_n=a_0\cdot q^n\quad\mbox{bzw.}\quad 
s_n=a_0\cdot\frac{q^{n+1}-1}{q-1}\quad
\mbox{(für $q\not=1$)}\end{displaymath}


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© 1997, Josef Leydold
Abteilung für angewandte Statistik und Datenverarbeitung