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Lineare Gleichungssysteme  



Ein sehr einfaches Leontief-Modell


Eine Stadt betreibt die Unternehmen öFFENTLICHER VERKEHR, ELEKTRIZITäT und GAS. Die wöchentliche Nachfrage nach diesen Gütern (in Werteinheiten) ist (die Zahlen sind frei erfunden)


Verkehr 7,0
Elektrizität 12,5
Gas 16,5

Jeder Betrieb verbraucht (pro Produktionseinheit) Güter, die er selbst oder andere Betriebe produzieren:


\begin{figure}
\setlength {\unitlength}{0.0075in}
 
\begin{picture}
(732,559)(0,...
 ...4,386){\makebox(0,0)[b]{\smash{{\textbf{\textbf{V}}}}}}\end{picture}\end{figure}

In Tabellenform:

Verbrauch an für Verkehr Elektrizität Gas
Verkehr 0,0 0,2 0,2
Elektrizität 0,4 0,2 0,1
Gas 0,0 0,5 0,1


Wie groß muß die wöchentliche Produktion sein, damit die Nachfrage befriedigt werden kann?



Wir bezeichnen die unbekannte Produktion von Verkehr, Elektrizität und Gas mit $x_1$, $x_2$ bzw. $x_3$.

Für die Produktion muß dann gelten:

Nachfrage = Produktion $-$ interner Verbrauch

\begin{displaymath}
\begin{array}
{ccccccccc}
 7,\!0 &=&x_1 &-&(0,\!0\,x_1&+&0,\...
 ...5&=&x_3 &-&(0,\!0\,x_1&+&0,\!5\,x_2&+&0,\!1\,x_3)\\ \end{array}\end{displaymath}

Durch Umformung erhalten wir:

\begin{displaymath}
\begin{array}
{ccccccc}
 1,\!0\,x_1 &-& 0,\!2\,x_2 &-& 0,\!2...
 ...\!0\,x_1 &-& 0,\!5\,x_2 &+& 0,\!9\,x_3 &=& 16,\!5\\ \end{array}\end{displaymath}

ein lineares Gleichungssystem.



Ein  lineares Gleichungssystem in $m$ Gleichungen und $n$Variablen hat im allgemeinen die Form

\begin{displaymath}
\begin{array}
{rcl}
 a_{11}\,x_1 + a_{12}\,x_2 + \cdots a_{1...
 ...}\,x_1 + a_{m2}\,x_2 + \cdots a_{mn}\,x_n &=& b_m\\ \end{array}\end{displaymath}


Es gibt drei Lösungsmöglichkeiten:


Aus der Anzahl der Gleichungen und Unbekannten kann noch nicht geschlossen werden, wieviele Lösungen ein Gleichungssystem besitzt.


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© 1997, Josef Leydold
Abteilung für angewandte Statistik und Datenverarbeitung